Question

(本小題12分)

如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形 底面

（I）證明：

（II）設，求棱錐的高.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ ）見解析；（Ⅱ）的高為。

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中線線的垂直和棱錐的高的綜合運用。

（1）根據余弦定理先求解BD，然后利用線線垂直得到BD垂直于AD，然后利用PD垂直于底面ABCD，可得BD垂直于PD

（2）過D作DE⊥PB于E，由（I）知BC⊥BD,又PD⊥底面ABCD，所以BC⊥平面PBD，而DE平面PBD，故DE⊥BC,所以DE⊥平面PBC,進而得到棱錐的高。

解：（Ⅰ ）因為, 由余弦定理得 

從而BD²+AD²= AB²，故BDAD

又PD底面ABCD，可得BDPD

所以BD平面PAD.  故PABD

（Ⅱ）過D作DE⊥PB于E，由（I）知BC⊥BD,又PD⊥底面，所以BC⊥平面PBD，而DE平面PBD，故DE⊥BC,所以DE⊥平面PBC

由題設知PD=1，則BD=,PB=2，

由DE﹒PB=PD﹒BD得DE=,即棱錐的高為