Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下焦點分別為F₁，F₂，在x軸上的兩個端點分別為A，B．且四邊形F₁AF₂B是邊長為1的正方形．
（1）求橢圓C的離心率及其標準方程；
（2）若直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異的兩點MN，且

MP

=3

PN

，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中四邊形F₁AF₂B是邊長為1的正方形，可求出b，c值，進而求出a值，代入離心率公式和橢圓的標準方程可得答案．
（2）若直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異的兩點MN，聯立直線與橢圓方程后，可得方程有兩相異的根，利用韋達定理結合

MP

=3

PN

構造關于m的不等式，解不等式可得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵F₁，F₂分別為橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下焦點
A，B為橢圓在x軸上的兩個端點，且四邊形F₁AF₂B是邊長為1的正方形
可得b=c=

2

2

，進而a=1
故橢圓C的離心率e=

c

a

=

2

2

，其標準方程為y2+

x2

1 2

=1
（2）∵直線l與y軸交于點P（0，m），
設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=kx+m
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

y=kx+m y2+ x2 1 2 =1

得：（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
則△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0（*）
且x₁+x₂=

-2km

k2+2

，x₁x₂=

m2-1

k2+2

∵

MP

=3

PN

∴-x₁=3x₂，則x₁+x₂=-2x₂，x₁x₂=-3x₂²，
則3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0
即3（

-2km

k2+2

）²+4•

m2-1

k2+2

=0
整理得：4k²m²-k²+2m²-2=0
當m²≠

1

4

時，k²=

2-2m2

4m2-1

∵

MP

=3

PN

∴k≠0
∴k²=

2-2m2

4m2-1

＞0
解得-1＜m＜-

1

2

，或

1

2

＜m＜1
經驗證此時（*）式成立
故實數m的取值范圍為（-1，-

1

2

）∪（

1

2

，1）

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合問題橢圓的簡單性質，是高考的壓軸大題，運算量較大，難度較大．