Question

設等比數列{a_n}的前n項和為S_n，首項a₁=1，公比q=f(λ)=

λ

1+λ

(λ≠-1，0)．
（1）證明：s_n=（1+λ）-λa_n；
（2）若數列{b_n}滿足b1=

1

2

，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2），求數列{b_n}的通項公式；
（3）若λ=1，記cn=an(

1

bn

-1)，數列{c_n}的前n項和為T_n，求證；當n≥2時，2≤T_n＜4．

Answer 1

分析：（1）利用等比數列的前n項和公式即可證明；
（2）利用已知b_n=f（b_n-1）=

bn-1

1+bn-1

，（n∈N^*，n≥2），可得

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

=1，再利用等差數列即可得出；
（3）利用（1）（2）可得c_n，再利用“錯位相減法”即可得出T_n，再利用單調性即可證明．

解答：（ 1）證明：由等比數列的前n項和公式可得：Sn=

a1-anq

1-q

═

1-an• λ 1+λ

1- λ 1+λ

=1+λ-λa_n
  （2）解：∵b_n=f（b_n-1）=

bn-1

1+bn-1

，（n∈N^*，n≥2），
∴

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

=1，
∴數列{

1

bn

}是以

1

b1

=2為首項，1為公差的等差數列，
∴

1

bn

=2+(n-1)×1=n+1，
∴bn=

1

n+1

．
  （3）證明：由（1）（2）可知：λ=1時，cn=n•(

1

2

)n-1．
∴T_n=1+2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n-1，

1

2

Tn=

1

2

+2×(

1

2

)2+…+(n-1)•(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n，
∴

1

2

Tn=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n，
T_n=4-

2+n

2n-1

，
∵f(n)=

2+n

2n-1

＞0，∴

f(n+1)

f(n)

=

3+n

4+2n

＜1，∴f（n）單調遞減．
∴n≥2時，f（n）≤f（2）=2，
∴Tn≥4-2=2．
∵f（n）＞0，∴T_n＜4．
∴當n≥2時，2≤T_n＜4．

點評：熟練掌握等比數列的前n項和公式、等差數列的通項公式、“錯位相減法”、函數的單調性等是解題的關鍵．