Question

已知正實數x，y，z滿足2x(x+

1

y

+

1

z

)=yz，則(x+

1

y

)(x+

1

z

)的最小值為

2

．

Answer 1

分析：先把已知中的式子展開，出現2x(x+

1

y

+

1

z

)=yz，代入(x+

1

y

)(x+

1

z

)的展開式中，再用基本不等式就可求出最小值．

解答：解：∵x，y，z滿足2x(x+

1

y

+

1

z

)=yz，
∴2x²+

2x

y

+

2x

z

=yz，
又∵(x+

1

y

)(x+

1

z

)=x²+

x

y

+

x

z

+

1

yz

∴(x+

1

y

)(x+

1

z

)=

yz

2

+

1

yz

∵x，y，z為正實數，∴

yz

2

+

1

yz

≥2

yz 2 • 1 yz

=

2

即(x+

1

y

)(x+

1

z

)≥

2

，當且僅當

yz

2

=

1

yz

時等號成立
∴(x+

1

y

)(x+

1

z

)的最小值為

2

．
故答案為

2

點評：本題主要考查了基本不等式的應用，做題時注意變形．