Question

如圖，已知在坐標平面內，M、N是x軸上關于原點O對稱的兩點，P是上半平面內一點，△PMN的面積為，．
（Ⅰ）求以M、N為焦點且過點P的橢圓方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）的直線l交橢圓于C、D兩點，交直線x=-4于點E，點B、E分、λ₂，求證：λ₁+λ₂=0．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設M（-c，0），N（c，0）（c＞0），P（x，y），則，2cx=2c，故x=1.．，由．由此入手能求出橢圓方程．
（Ⅱ）當l的斜率不存在時，l與x=-4無交點，不合題意．當l的斜率存在時，設l方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，化簡得：（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0．設點C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），再由根的判別式和韋達定理進行求解．
解答：解：（Ⅰ）設M（-c，0），N（c，0）（c＞0），P（x，y），
則，2cx=2c，故x=1．①
又∵．②
∵，
由已知，
即．③
將①②代入③，，，，
∴．
設橢圓方程為．
∵在橢圓上，
∴，
∴橢圓方程為：．
（Ⅱ）①當l的斜率不存在時，l與x=-4無交點，
不合題意．
②當l的斜率存在時，設l方程為y=k（x+1），
代入橢圓方程
化簡得：（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0．設點C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
則：，
∵，
∴，

而=，
∴λ₁+λ₂=0．
點評：本題考查橢圓方程的求法和求證λ₁+λ₂=0．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地運用橢圓的性質，恰當地進行等價轉化．