Question

已知，
（Ⅰ）若存在實數k和t，使，，且⊥，試求函數關系式k=f（t）；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的結論，確定k=f（t）的單調區間；
（Ⅲ）設a＞0，若過點（a，b）可作曲線k=f（t）的三條切線，求證：．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵知，，
∴=0，||==2，||==1，
=（）+（，）=（，），=（-）+（）=（，），
∴=-4k+t（t²-3）=0，
∴k=f（t）=．
（Ⅱ）∵f（t）=，
∴f′（x）=k′==，
令k′＞0，得t＞1，或t＜-1，
令k′＜0，得-1＜t＜1，
∴k=f（t）的單調增區間為（1，+∞），（-∞，-1）；單調減區間為（-1，1）．
（Ⅲ）設切點為（t，），，
∴切線方程為：y-，
∵切線方程過（a，b），
∴b-=，
4b-t³+3t=（3t²-3）（a-t），
4b-t³+3t=3at²-3t²-3a+3t，
∴3a+4b=-2t³+3at²有三個不同的根，
令g（t）=-2t³+3at²，
g′（t）=-6t²+6at=-6t（t-a），
令g′（t）=0，得t=0，或t=a．
令g′（t）＞0，得0＜t＜a，
令g′（x）＜0，得t＞a，或t＜0，
∴g（t）_極小值=g（0）=0，
g（t）_極大值=g（a）=a³，
∴要使3a+4b=-2t³+3at²有三個不同的根，
則0＜3a+4b＜a³，
∴，
故．
分析：（Ⅰ）由，，知=0，||=2，||=1，由此能求出k=f（t）．
（Ⅱ）由f（t）=，知f′（x）=k′==，由此能求出k=f（t）的單調區間．
（Ⅲ）設切點為（t，），，則切線方程為：y-，由切線方程過（a，b），知b-=，由此能夠證明
．
點評：本題考查數量積判斷兩個平面向量垂直的條件的應用，具體涉及到平面向量的性質、導數的應用、函數性質、切線方程等基本知識點，解題時要認真審題，仔細解答．