Question

設函數f(x)=（x²+ax+a）e^-x，其中x∈R，a是實常數，e是自然對數的底數．
(Ⅰ)確定a的值，使f(x)的極小值為0；
(Ⅱ)證明：當且僅當a=3時，f（x）的極大值為3；
(Ⅲ)討論關于x的方程f(x)+f′(x)=2xe^-x+x^-2(x≠0)的實數根的個數．

Answer 1

解：(Ⅰ)，
令f′(x)=0，解得：x=0或x=2-a，
①當a=2時，f′(x)≤0，此時無極值；
②當0＜2-a，即a＜2時，f′(x)和f(x)的變化如下表1，

此時應有f(0)=0，所以，a=0＜2；
③當0＞2-a，即a＞2時，f′(x)和f(x)的變化如下表2，

此時應有f(2-a)=0，即，
所以必有；
綜上所述，當a=0或a=4時，f(x)的極小值為0。
(Ⅱ)若a＜2，則由表1知，應有f(2-a)=3，
即，
∴，
設，則，
由a＜2，故g′(x)＞0，
于是當a＜2時，g(a)＜g(2)=2＜3，即不可能成立；
若a＞2，則由表2知，應有f(0)=3，即a=3；
綜上所述，當且僅當a=3時極大值為3。
(Ⅲ) ∵，
∴方程可以化為，
進而化為，
構造函數，
求導可得，，
由ψ′(x)＞0得x＜0或x＞2，由ψ′(x)＜0得0＜x＜2，
從而ψ(x)在區間(-∞，0)和(2，+∞)上單調遞增，在區間（0，2）上單調遞減，
當x=2時，函數ψ(x)取得極小值。
并且結合函數圖象可知：當|x|無限趨近于0時，ψ(x)＞0并且取值無限增大，其圖象向上無限接近y軸，但永遠也達不到y軸（此時y軸足漸近線）；
當x＜0并無限減小時，ψ(x)＞0并且取值也無限減小，其圖象在 x軸上方并向左無限接近x軸，但永遠也達不到x軸（此時x軸是漸近線）；
當x＞2并無限增大時，ψ(x)＞0并且取值也無增大，其圖象在第一象限內向右上方無限延伸（如圖所示）
 
因此，當a≤0時，原方程無實根；
當0＜a＜時，原方程只有一個實數根；
當a=時，原方程有兩個不等的實數根；
當a＞時，原方程有三個不等的實數根。