Question

在學習二項式定理時，我們知道楊輝三角中的數具有兩個性質：①每一行中的二項式系數是“對稱”的，即第1項與最后一項的二項式系數相等，第2項與倒數第2項的二項式系數相等，…；②圖中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個數都等于它肩上兩個數的和．我們也知道，性質①對應于組合數的一個性質：c_n^m=C_n^n-m．
（1）試寫出性質②所對應的組合數的另一個性質；
（2）請利用組合數的計算公式對（1）中組合數的另一個性質作出證明．

Answer 1

（1）性質②所對應的組合數的另一個性質是
      

C

mn+1

=

C

mn

+

C

m-1n

   
（2）因為

C

mn+1

=

(n+1)!

m!(n+1-m)!

     

C

mn

+

C

m-1n

=

n!

m!(n-m)!

+

n!

(m-1)!(n+1-m)!

                 
=

n![(n+1-m)+m]

m!(n+1-m)!

=

n!(n+1)

m!(n+1-m)!

=

(n+1)!

m!(n+1-m)!

所以

C

mn+1

=

C

mn

+

C

m-1n