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設A、B為在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)上兩點，O為坐標原點．若OA丄OB，則△AOB面 積的最小值為______．
設直線OA的方程為y=kx，則直線OB的方程為y=-
1
k
x，
則點A（x1，y1）滿足
y=kx
x2
a2
-
y2
b2
=1
故x12=
a2b2
b2-a2k2
，y12=
k2a2b2
b2-a2k2
，
∴|OA|2=x12+y12=
(1+k2)a2b2
b2-a2k2
，同理|OB|2=
(1+k2)a2b2
k2b2-a2
，
故|OA|2•|OB|2=
(1+k2)a2b2
b2-a2k2
•
(1+k2)a2b2
k2b2-a2
=
(1+k2)2(a2b2)2
-a2b2+(a4+b4)k2-k4a2b2

∵
k2
(k2+1)2
=
1
k2+
1
k2
+2
≤
1
4
（當且僅當k=±1時，取等號）
∴|OA|2•|OB|2≥
4a4b4
(b2-a2)2
，又b＞a＞0，
故S△AOB=
1
2
|OA||OB|的最小值為
a2b2
b2-a2
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

給出以下5個命題：
①曲線x2-（y-1）2=1按
a
=(1，-2)平移可得曲線（x+1）2-（y-3）2=1；
②設A、B為兩個定點，n為常數，|
PA
|-|
PB
|=n，則動點P的軌跡為雙曲線；
③若橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，P是該橢圓上的任意一點，延長F1P到點M，使|F2P|=|PM|，則點M的軌跡是圓；
④A、B是平面內兩定點，平面內一動點P滿足向量
AB
與
AP
夾角為銳角θ，且滿足 |
PB
| |
AB
| +
PA
•
AB
=0，則點P的軌跡是圓（除去與直線AB的交點）；
⑤已知正四面體A-BCD，動點P在△ABC內，且點P到平面BCD的距離與點P到點A的距離相等，則動點P的軌跡為橢圓的一部分．
其中所有真命題的序號為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

以下四個關于圓錐曲線的命題中：
①設A、B為兩個定點，k為非零常數，|
PA
|-|
PB
|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②平面內到兩定點距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓
③若方程
x2
4-t
+
y2
t-1
=1表示焦點在x軸上的橢圓，則1＜t＜
5
2

④雙曲線
x2
25
-
y2
9
=1與橢圓
x2
35
+y2=1有相同的焦點．
其中真命題的序號為
③、④
③、④
（寫出所有真命題的序號）

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科目：高中數學 來源：黑龍江省綏棱縣第一中學2011-2012學年高二上學期期末數學文科試題 題型：022

在下面幾個關于圓錐曲線命題中

①方程2x2－5x＋2＝0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率

②設A、B為兩個定點，K為非零常數，若|PA|－|PB|＝K，則動點P的軌跡為雙曲線

③過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，若A、B在拋物線的準線上的射影分別為A1、B1，則∠A1FB1＝90°

④雙曲線的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，則

其中真命題序號為________

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年江蘇省徐州市邳州市運河中學高二（上）第二次月考數學試卷（文科）（解析版） 題型：填空題

以下四個關于圓錐曲線的命題中：
①設A、B為兩個定點，k為非零常數，，則動點P的軌跡為雙曲線；
②平面內到兩定點距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓
③若方程表示焦點在x軸上的橢圓，則1＜t＜
④雙曲線有相同的焦點．
其中真命題的序號為    （寫出所有真命題的序號）

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年四川省攀枝花七中高三（下）開學數學試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

給出以下5個命題：
①曲線x2-（y-1）2=1按平移可得曲線（x+1）2-（y-3）2=1；
②設A、B為兩個定點，n為常數，，則動點P的軌跡為雙曲線；
③若橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，P是該橢圓上的任意一點，延長F1P到點M，使|F2P|=|PM|，則點M的軌跡是圓；
④A、B是平面內兩定點，平面內一動點P滿足向量與夾角為銳角θ，且滿足 ，則點P的軌跡是圓（除去與直線AB的交點）；
⑤已知正四面體A-BCD，動點P在△ABC內，且點P到平面BCD的距離與點P到點A的距離相等，則動點P的軌跡為橢圓的一部分．
其中所有真命題的序號為    ．

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