Question

已知函數f（x）的圖象如圖所示，f′（x）是函數f（x）的導函數，且y=f（x+1）是奇函數，那么下列結論中錯誤的是（　　）

• A．f（1-x）+f（x+1）=0
• B．f′（x）（x-1）≥0
• C．f（x）（x-1）≥0
• D．

  lim

  x→0

  f（x）=f（0）

Answer 1

分析：由奇函數的圖象的性質及圖象變換的規律判斷出A對；據函數的單調性與導函數的關系判斷出B錯；根據圖象知當x＞1時，f（x）＞0，x-1＞0，得到f（x）（x-1）≥0；當x≤1時，f（x）≤0，x-1≤0，得到f（x）（x-1）≥0；判斷出C對
由函數的圖象知，f（x）是連續的，判斷出D對；

解答：解：因為y=f（x+1）是奇函數，
所以y=f（x+1）的圖象關于原點對稱，
因為f（x）的圖象是由y=f（x+1）的圖象向右平移1個單位，
∴y=f（x）的圖象關于（1，0）對稱．
∴f（1-x）+f（1+x）=0，A正確；
∵f′（x）是函f（x）的導函數．
由函數的圖象知，當x＞1時，函數先增后減，
∴f′（x）不恒大于0，
∴f′（x）（x-1）≥0不正確，所以B不對；
由圖象知，當x＞1時，f（x）＞0，x-1＞0，所以f（x）（x-1）≥0；
當x≤1時，f（x）≤0，x-1≤0，所以f（x）（x-1）≥0；所以C對
由函數的圖象知，f（x）是連續的，
所以

lim

x→0

f(x)=f(0)，所以D對；
由函數的圖象知，故選B．

點評：本題考查函數圖象的變換規律、函數的單調性與導函數符號的關系，屬于基礎題．