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已知M、N是正四面體PABC的棱AB、PC的中點.求：

(1)異面直線PM、BN所成角的大小；

(2)BN與底面ABC所成角的大小；

(3)相鄰兩側面所成的角.

解析：(1)設正四面體PABC的棱長為a,連結MC，取其中點R，連結NR和BR，易證PM∥NR，故∠BNR就是異面直線PM、BN所成的角，?

NR=PM=a,BN=a,?

BR=.?

由余弦定理cos∠BNR=,?

∴∠BNR=arccos.?

(2)作NH⊥MC于H，PG⊥MC于G，則∠NBH即為BN與底面ABC所成的角，由上可知G是△ABC的中心,?

∴GM=MC=a.?

∴PG=?

=,?

sin∠NBH=?

=,?

即∠NBH=arcsin.?

(3)∠PMC即為相鄰兩面所成的角，∠PMC=arccos.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知M是正四面體ABCD棱AB的中點，N是棱CD的中點，則下列結論中，正確的個數有（　　）
（1）MN⊥AB；            
（2）VA-MCD=VB-MCD；     
（3）平面CDM⊥平面ABN； 
（4）CM與AN是相交直線．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知M是正四面體ABCD棱AB的中點，N是棱CD上異于端點C，D的任一點，則下列結論中，正確的個數有（　　）
（1）MN⊥AB；               （2）若N為中點，則MN與AD所成角為45°；
（3）平面CDM⊥平面ABN；      （4）存在點N，使得過MN的平面與AC垂直．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知M是正四面體ABCD棱AB的中點，N，E分別是棱CD，BD上的任意點，則下列結論正確的個數有（　　）
（1）MN⊥AB；              （2）若N為中點，則MN與AD所成角為45°；
（3）平面CDM⊥平面ABN；  （4）若E為中點，則幾何體E-BMN的體積為定值．

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科目：高中數學 來源：2011年黑龍江省哈爾濱六中高考數學三模試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知M是正四面體ABCD棱AB的中點，N是棱CD上異于端點C，D的任一點，則下列結論中，正確的個數有（ ）
（1）MN⊥AB；               （2）若N為中點，則MN與AD所成角為45°；
（3）平面CDM⊥平面ABN；      （4）存在點N，使得過MN的平面與AC垂直．
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

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