Question

（2013•江西）如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=

2

，AA₁=3，E為CD上一點，DE=1，EC=3
（1）證明：BE⊥平面BB₁C₁C；
（2）求點B₁到平面EA₁C₁ 的距離．

Answer 1

分析：（1）過點B作BF⊥CD于F點，算出BF、EF、FC的長，從而在△BCE中算出BE、BC、CE的長，由勾股定理的逆定理得BE⊥BC，結(jié)合BE⊥BB₁利用線面垂直的判定定理，可證出BE⊥平面BB₁C₁C；
（2）根據(jù)AA₁⊥平面A₁B₁C₁，算出三棱錐E-A₁B₁C₁的體積V=

2

．根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和勾股定理，算出A₁C₁=EC₁=3

2

、A₁E=2

3

，從而得到等腰△A₁EC₁的面積S_△ A1E C1=3

5

，設(shè)B₁到平面EA₁C₁ 的距離為d，可得三棱錐B₁-A₁C₁E的體積V=

1

3

×S_△ A1E C1×d=

5

d，從而得到

2

=

5

d，由此即可解出點B₁到平面EA₁C₁ 的距離．

解答：解：（1）過點B作BF⊥CD于F點，則
BF=AD=

2

，EF=AB=DE=1，F(xiàn)C=2
在Rt△BEF中，BE=

BF2+EF2

=

3

；在Rt△BCF中，BC=

BF2+CF2

=

6

因此，△BCE中可得BE²+BC²=9=CE²
∴∠CBE=90°，可得BE⊥BC，
∵BB₁⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，∴BE⊥BB₁，
∵BC、BB₁是平面BB₁C₁C內(nèi)的相交直線，∴BE⊥平面BB₁C₁C；
（2）∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，得AA₁是三棱錐E-A₁B₁C₁的高線
∴三棱錐E-A₁B₁C₁的體積V=

1

3

×AA₁×S_△ A1B1C1=

2

在Rt△A₁D₁C₁中，A₁C₁=

A1D12+D 1C12

=3

2

同理可得EC₁=

E C 2+C  C12

=3

2

，A₁E=

A1A2+AD2+DE2

=2

3

∴等腰△A₁EC₁的底邊EC₁上的中線等于

(3 2 )2-( 3 )2

=

15

，
可得S_△ A1E C1=

1

2

×2

3

×

15

=3

5

設(shè)點B₁到平面EA₁C₁ 的距離為d，則三棱錐B₁-A₁C₁E的體積為
V=

1

3

×S_△ A1E C1×d=

5

d，可得

2

=

5

d，解之得d=

10

5

即點B₁到平面EA₁C₁ 的距離為

10

5

．

點評：本題在直四棱柱中求證線面垂直，并求點到平面的距離．著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理與其逆定理和利用等積轉(zhuǎn)換的方法求點到平面的距離等知識，屬于中檔題．