Question

給出下列說法：
①存在實數x，使sinx+cosx=

π

3

；
②若α，β是銳角三角形的內角，則sinα＞cosβ；
③為了得到函數y=sin（2x-

π

3

）的圖象，只需把函數y=sin（2x+

π

6

的圖象向右平移

π

2

個長度單位；
④函數y=|sin2x|的最小正周期為π；
⑤在△ABC中，若cos2A=cos2B，則A=B．
其中正確說法的序號是

①②⑤

．

Answer 1

分析：①利用三角函數的輔助角公式求出函數的最值．②利用銳角三角形的關系確定α，β的關系，然后利用三角函數的單調性判斷．
③利用三角函數的圖象平移進行推導．④利用三角函數的周期和絕對值函數的周期關系判斷．⑤利用余弦函數的單調性判斷．

解答：解：①因為sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，所以函數

2

sin(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]，因為

π

3

∈[-

2

，

2

]，
所以存在實數x，使sinx+cosx=

π

3

，所以①正確．
②因為α，β是銳角三角形的內角，所以π-α-β＜

π

2

，即α+β＞

π

2

，所以α＞

π

2

-β＞0因為y=sinx在（0，

π

2

）單調遞增，所以得sinα＞sin（

π

2

-β），即sinα＞cosβ，所以②正確．
③把函數y=sin（2x+

π

6

的圖象向右平移

π

2

個長度單位，得到函數為y=sin[2(x-

π

2

)+

π

6

]=sin(2x-

5π

6

)，所以③錯誤．
④因為y=sin2x的最小正周期為π，所以y=|sin2x|的最小正周期為

π

2

，所以④錯誤．
⑤在三角形中，由cos2A=cos2B，得2A=2B，所以A=B，所以⑤正確．
故答案為：①②⑤．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質以及三角基本運算，要求熟練掌握相應的運算公式．