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已知數學公式，若f（x）=ax2-4x+2在區間[1，4]上最大值為M（a），，最小值為N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）討論g（a）在數學公式上的單調性；
（3）當數學公式時，證明2a2+4≥g（a）．

解：（1）f（x）的對稱軸為x=
∵
∴
∴當x=時，f（x）最小為N（a）=
時，當x=4時最大為M（a）=16a-14
時，當x=1時最大為M（a）=a-2
∴
（2）時
∵＜0
∴
證明（3）∵
∴當a=時g（a）最大，最大值為
∵
即∵2a2+4≥g（a）max
∴2a2+4≥g（a）
分析：（1）求出f（x）的對稱軸，判斷對稱軸與區間的關系，求出f（x）的最小值；討論對稱軸與區間中點的位置關系，求出最大值；利用最大值減去最小值求出g（a）
（2）求出a∈時g（a）的導函數，判斷出其符號，得到g（a）的單調性．
（3）利用（2）的單調性求出g（a）的最大值；求出二次函數2a2+4的最小值，該最小值大于等于g（a）的最大值，
得證．
點評：本題考查二次函數的最值的求法，其最值取決于對稱軸與區間的位置關系、考查利用導函數的符號判斷函數的單調性、考查等價轉化的數學數學方法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知：函數f（x）=a•lnx+bx2+x在點（f，f（1））處的切線方程為x-y-1=0．
（1）求f（x）的表達式；
（2）設函數y=
1
2
f(x)+
x(x-1)
2
的反函數為p（x），t（x）=p（x）（1-x），求函數t（x）的最大值；
（3）在（2）中，問是否存在正整數N，使得當n∈N+且n＞N時，不等式p(-1)+p(-
1
2
)+p(-
1
3
) +p(-
1
n
) ＜n-2011恒成立？若存在，請找出一個滿足條件的N的值，并給以說明；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年安徽省鳳陽藝榮高考輔導學校高三（上）第二次月考數學試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數若f（x）＞3，則x的取值范圍是（ ）
A．x＞8
B．x＜0或x＞8
C．0＜x＜8
D．x＜0或0＜x＜8

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年河北省保定市高三（上）摸底數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知：函數f（x）=a•lnx+bx2+x在點（f，f（1））處的切線方程為x-y-1=0．
（1）求f（x）的表達式；
（2）設函數的反函數為p（x），t（x）=p（x）（1-x），求函數t（x）的最大值；
（3）在（2）中，問是否存在正整數N，使得當n∈N+且n＞N時，不等式恒成立？若存在，請找出一個滿足條件的N的值，并給以說明；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年重慶一中高三（上）12月月考數學試卷（文科）（解析版） 題型：填空題

已知，若f（x）=ax2-2x+1在區間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），記g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析表達式；
（2）若對一切都有kg（a）-1＜0成立，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2013年山東省高考數學預測試卷（05）（解析版） 題型：選擇題

已知函數若f（x）＞3，則x的取值范圍是（ ）
A．x＞8
B．x＜0或x＞8
C．0＜x＜8
D．x＜0或0＜x＜8

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