Question

設橢圓過點，且左焦點為

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ)當過點P（4，1）的動直線l與橢圓C相交于兩不同點A，B時，在線段AB上取點Q，滿足。證明：點Q總在某定直線上。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意：

    解得：

所求的橢圓方程為   

（Ⅱ） 方法一：

設點Q、A、B的坐標分別為（x, y）、（）、（）

由題設知均不為零，記，

則。

又    A，P，B，Q四點共線，從而

于是，，，

從而，…①；…②

又點A，B在橢圓C上，即…③；…④

①+2并結合③、④得：4x+2y=4，即點Q（x, y）總在定直線2x+y-2=0上。

方法二：

設點Q、A、B的坐標分別為（x, y）、（）、（）

由題設知均不為零，，

又    A，P，B，Q四點共線，可設，于是

，，…①；，…②

由于A（），B（）在橢圓C上，將①、②分別代入C的方程，整理得：

…③

…④

④-③得：8（2x+y-2）=0，∵，∴

即點Q（x, y）總在定直線2x+y-2=0上。