Question

如圖，已知圓G：x²+y²﹣2x﹣y=0經過橢圓的右焦點F及上頂點B．過點M（m，0）作傾斜角為的直線l交橢圓于C、D兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點Q（1，0）恰在以線段CD為直徑的圓的內部，求實數m范圍．

Answer 1

考點：

直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的簡單性質．

專題：

圓錐曲線中的最值與范圍問題．

分析：

（1）利用已知即可得到點F，B的坐標，即可得到c，b，再利用a²=b²+c²即可；

（2）把直線的方程與橢圓的方程聯立即可得到根與系數的關系，又點Q（1，0）在以線段CD為直徑的圓內，即可得到．代入即可得到m的取值范圍．

解答：

解：（1）∵圓G：經過橢圓的右焦點F及上頂點B．

∴F（2，0），B（0，），∴c=2，b=，

∴a²=b²+c²=6．

∴橢圓的方程為．

（2）由題意l的方程為：．

設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．

聯立，消去y整理得2x²﹣2mx+m²﹣6=0．

由△＞0得到4m²﹣4×2（m²﹣6）＞0，解得．

∴x₁+x₂=m，．

又點Q（1，0）在以線段CD為直徑的圓內，∴．

∴（x₁，y₁）•（x₂﹣1，y₂）＜0，

∴＜0．

∴．

∴2m²﹣3m﹣9＜0，

解得．

綜上所述，m的取值范圍是．

點評：

熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、點在圓的內部的等價條件、一元二次不等式的解法等是解題的關鍵．