Question

已知點M（-2，0），N（2，0），動點P滿足條件||PM|-|PN||=2

2

，記動點P的軌跡為W．
（1）求W的方程；
（2）過N（2，0）作直線l交曲線W于A，B兩點，使得|AB|=2

2

，求直線l的方程．
（3）若從動點P向圓C：x²+（y-4）²=1作兩條切線，切點為A、B，令|PC|=d，試用d來表示

PA

•

PB

，若

PA

•

PB

=

36

5

，求P點坐標．

Answer 1

分析：（1）根據所給的動點P所滿足的條件，看出點P是到兩個定點距離之差等于定值，得到圖形是雙曲線，根據雙曲線的定義，寫出方程．
（2）本題是一個弦長問題，已知直線過定點，要設直線的方程，首先注意直線的斜率是否存在，不存在的情況要單獨說明，存在時設出斜率，寫出方程，聯立方程，根據根和系數的關系，寫出弦長的表達式，得到未知數．
（3）首先寫出兩個向量的數量積的表示式，用d來表示，根據數量積的值，得到關于d的方程，解出結果，針對于所求的兩種情況，求出對應的點的坐標．

解答：解：（1）由||PM|-|PN||=2

2

，知點P的軌跡是以M（-2，0），N（2，0）為焦點，
實軸長為2

2

的雙曲線．
即設2a=2

2

，2c=4?a=

2

，c=2，b=

2

所以所求的W的方程為x²-y²=2
（2）若k不存在，即x=2時，可得A（2，

2

），B（2，-

2

），|AB|=2

2

滿足題意；
若k存在，可設l：y=k（x-2）
聯立

y=k(x-2) x2-y2=2

，?（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0
由題意知

1-k2≠0 △＞0

?k∈R且k≠±1
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=

△

|a|

1+k2

即

8k2+8

|1-k2|

1+k2

=2

2

?k=0即l：y=0
所以直線l的方程為x=2或y=0
（3）

PA

•

PB

=|

PA

||

PB

|cos∠APB=(d2-1)(1-2sin2APO′)
=(d2-1)[1-2(

1

d

)2]=

(d2-1)(d2-2)

d2

=d2+

2

d2

-3
由

PA

•

PB

=

36

5

知5d⁴-51d²+10=0
∴d2=

1

5

或10
設P（x，y），則d²=x²+（y-4）²=y²+2+（y-4）²=2y²-8y+18
所以2y2-8y+18=

1

5

或2y²-8y+18=10
解得y=2此時x=±

6

即P（±

6

，2）

點評：先求軌跡的方程，再利用方程來解決直線與圓錐曲線的問題，是解析幾何中常見的一種題型，本題所給的求軌跡的方法是定義法，這樣可以減少題目的運算量，注意設直線的方程時，要討論直線的斜率不存在的情況．