Question

已知橢圓4x²+y²=1及直線l：y=x+m．
（Ⅰ）當m為何值時，直線l與橢圓有公共點？
（Ⅱ）若直線l被橢圓截得的線段長為

4 2

5

，求直線的方程．
（Ⅲ）若直線l與橢圓相交于A、B兩點，是否存在m的值，使得

OA

•

OB

=0？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）聯立直線方程與橢圓方程，根據對應方程的判別式大于等于0即可求出m的取值范圍；
（Ⅱ）聯立直線方程與橢圓方程，求出兩交點坐標和直線的斜率之間的關系；再結合弦長公式即可求出直線的方程．
（Ⅲ）先聯立直線方程與橢圓方程，求出A、B兩點坐標和直線的斜率之間的關系；結合

OA

•

OB

=0的對應結論即可求出m的值．

解答：解：（Ⅰ）把直線y=x+m代入4x²+y²=1得
5x²+2mx+m²-1=0     ①…（1分）
∴△=4m²-20（m²-1）=-16m²+20≥0
-

5

2

≤m≤

5

2

…（2分）
（Ⅱ）設直線與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
由①得

x1+x2=- 2m 5 x1x2= m2-1 5

，…（3分）
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=(-

2m

5

)2-

4(m2-1)

5

=

-16m2+20

25

…（4分）
∴|AB|=

(1+k)2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2× -16m2+20 25

=

4 2

5

…（5分）
解得m=±

1

2

…（6分）
∴所求直線方程為y=x±

1

2

．                                   …（7分）
（Ⅲ）設直線與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
由①得

x1+x2=- 2m 5 x1x2= m2-1 5

若存在m的值，使得

OA

•

OB

=0，則有x₁x₂+y₁y₂=0…（8分）y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=

4m2-1

5

…（9分）
∴

m2-1

5

+

4m2-1

5

=0，解得                                     …（10分）
又由（1）直線和橢圓有公共點，需滿足-

5

2

≤m≤

5

2

…（11分）
∵

10

5

＜

5

2

∴存在m=±

10

5

滿足題意                                       …（12分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系．解決問題的關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用韋達定理，弦長公式進行求解．