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已知函數f(x)=
2x+3
3x
，數列{an}滿足a1=1，an+1=f(
1
an
)(n∈N*)．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）令bn=
1
anan+1
，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn＜
m-2013
2
對一切n∈N*成立，求最小正整數m．
分析：（1）由函數f(x)=
2x+3
3x
，數列{an}滿足a1=1，an+1=f(
1
an
)(n∈N*)．可得an+1=
2•
1
an
+3
3•
1
an
=an+
2
3
，再利用等差數列的通項公式即可得出；
（2）利用（1）可得bn=
1
anan+1
=
1
(
2
3
n+
1
3
)(
2
3
n+1)
=
9
2
(
1
2n+1
-
1
2n+3
)，利用“裂項求和”即可得到Sn，利用單調性即可得出．
解答：解：（1）由函數f(x)=
2x+3
3x
，數列{an}滿足a1=1，an+1=f(
1
an
)(n∈N*)可得：an+1=
2•
1
an
+3
3•
1
an
=an+
2
3
，
∴數列{an}是以1為首項，
2
3
為公差的等差數列，
∴an=1+
2
3
(n-1)=
2
3
n+
1
3
．
（2）∵bn=
1
anan+1
=
1
(
2
3
n+
1
3
)(
2
3
n+1)
=
9
2
(
1
2n+1
-
1
2n+3
)
∴Sn=
9
2
(
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
+…+
1
2n+1
-
1
2n+3
)=
9
2
(
1
3
-
1
2n+3
)
由Sn＜
m-2013
2
，即
9
2
(
1
3
-
1
2n+3
)＜
m-2013
2
對一切n∈N*成立，
又
9
2
(
1
3
-
1
2n+3
)隨著n單調遞增，且
9
2
(
1
3
-
1
2n+3
)＜
3
2
，
∴
3
2
≤
m-2013
2
，故m≥2016．
∴m的最小值為2016．
點評：本題綜合考查了等差數列的通項公式、“裂項求和”、數列的單調性等基礎知識與基本技能，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數f（x）在（-1，+∞）上為減函數；
（3）是否存在負數x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數x均成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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