Question

如圖，F₁，F₂是離心率為的橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點，直線：x＝－將線段F₁F₂分成兩段，其長度之比為1 : 3．設A，B是C上的兩個動點，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點，線段AB的中點M在直線l上．

(Ⅰ) 求橢圓C的方程；

(Ⅱ) 求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據題中的已知條件列有關的方程，求出，然后根據離心率求出，最后再根據、、三者之間的關系求出的值，從而確定橢圓的方程；（Ⅱ）先設點的坐標，然后根據已知條件將直線的方程用進行表示，再聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理將表示為含為代數式，然后再利用不等式的性質求出的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）設F₂(c，0)，則＝，所以c＝1．

因為離心率e＝，所以a＝．

所以橢圓C的方程為．

(Ⅱ) 當直線AB垂直于x軸時，直線AB方程為x＝－，此時P(，0)、Q(,0)，．

當直線AB不垂直于x軸時，設直線AB的斜率為k，M(－，m) (m≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由  得(x₁＋x₂)＋2(y₁＋y₂)＝0，

則－1＋4mk＝0，故k＝．

此時，直線PQ斜率為，PQ的直線方程為．即．

聯立 消去y，整理得．

所以，．

于是(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂

．

令t＝1＋32m²，1＜t＜29，則．

又1＜t＜29，所以．

綜上，的取值范圍為．

考點：橢圓的方程、平面向量的數量積、韋達定理