Question

如圖，已知橢圓C：

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁（0，c）、F₂（0，-c）（c＞0），拋物線P：x²=2py（p＞0）的焦點與F₁重合，過F₂的直線l與拋物線P相切，切點E在第一象限，與橢圓C相交于A、B兩點，且

F2B

=λ

AF2

．
（1）求證：切線l的斜率為定值；
（2）若動點T滿足：

ET

=μ(

EF1

+

EF2

)，μ∈(0，

1

2

)，且

ET

•

OT

的最小值為-

5

4

，求拋物線P的方程；
（3）當λ∈[2，4]時，求橢圓離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C：

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁（0，c）、F₂（0，-c）（c＞0），拋物線P：x²=2py（p＞0）的焦點與F₁重合，知拋物線P：x²=4cy．設過F₂的直線l的方程為y+c=kx，聯立

y+c=ky x2=4cy

，得x²-4kcx+4c²=0，利用韋達定理能證明切線l的斜率為定值．
（2）設EO=t，由

ET

=μ(

EF1

+

EF2

)，μ∈(0，

1

2

)，知T在線段EO上移動，故

EO • OT =-| EO |•| OT | | EO |+| OT |=t

，由

ET

•

OT

的最小值為-

5

4

，得到t=

5

．由此能求出拋物線P的方程．
（3）由直線l的方程為y=x-

5

．聯立

y=x- 5 x2 a2-5 + y2 a2 =1

，得（2a²-5）x²-2

5

（a²-5）x-（a²-5）²=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

2 5 (a2-5)

2a2-5

，x1x2=

-(a2-5)2

2a2-5

．當λ=2時，x₁=-2x₂．當λ=4時，x₁=-4x₂．由此能求出橢圓離心率e的取值范圍．

解答：（1）證明：∵橢圓C：

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁（0，c）、F₂（0，-c）（c＞0），
拋物線P：x²=2py（p＞0）的焦點與F₁重合，
∴

p

2

=c，∴拋物線P：x²=4cy．
設過F₂的直線l的方程為y+c=kx，
聯立

y+c=ky x2=4cy

，得x²-4kcx+4c²=0，
∵過F₂的直線l與拋物線P相切，切點E在第一象限，
∴

△=16k2c2-16c2=0 k＞0

，
解得k=1．
故切線l的斜率k為定值1．
（2）設EO=t，∵

ET

=μ(

EF1

+

EF2

)，μ∈(0，

1

2

)，
∴T在線段EO上移動，
∴

ET • OT =-| ET |•| OT | | ET |+| OT |=t

，
∵

ET

•

OT

的最小值為-

5

4

，
∴當|

ET

|=|

OT

|=

t

2

時，

ET

•

OT

的最小值=-

t2

4

=-

5

4

，
∴t=

5

．
∵過F₂的直線l與拋物線P相切，切點E在第一象限，
∴由（1）知k=1，拋物線在E點處的導數，得E（p，

p

2

），
由t²=P²+（

p

2

）²=5，解得P=2，所以拋物線方程為，
∴拋物線P的方程為x²=4y．
（3）由（2）得c=

5

，
∵直線l的斜率k=1，∴直線l的方程為y=x-

5

．
聯立

y=x- 5 x2 a2-5 + y2 a2 =1

，得（2a²-5）x²-2

5

（a²-5）x-（a²-5）²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

2 5 (a2-5)

2a2-5

，x1x2=

-(a2-5)2

2a2-5

．
∵直線l與橢圓C相交于A、B兩點，且

F2B

=λ

AF2

，λ∈[2，4]，
∴當λ=2時，x₁=-2x₂．
∴x1+x2=

2 5 (a2-5)

2a2-5

=-x₂，x1x2=

-(a2-5)2

2a2-5

=-2x22．
∴

-(a2-5)2

2a2-5

=-2•

20(a2-5)2

(2a2-5)2

，解得a=

3 10

2

，e=

5

3 10 2

=

2

3

．
當λ=4時，x₁=-4x₂．
∴x1+x2=

2 5 (a2-5)

2a2-5

=-3x₂，x1x2=

-(a2-5)2

2a2-5

=-4x22．
∴

-(a2-5)2

2a2-5

=-4•

1

9

•

20(a2-5)2

(2a2-5)2

，解得a=

5 10

6

，e=

5

5 10 6

=

3 2

5

．
∴橢圓離心率e的取值范圍是[

2

3

，

3 2

5

]．

點評：本題考查切線斜率為定值的求法，考查拋物線方程的求法，考查橢圓離心率取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．