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如圖，拋物線y=-
1
2
x2上有兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），且
OA
•
OB
=0，又
OM
=(0，-2)．
（1）求證：
AM
∥
AB
；
（2）若
MA
=-2
MB
，求AB所在直線方程．
分析：（1）先確定x1x2=-4，再用坐標表示向量，利用向量共線的條件，即可得到結論；
（2）利用向量條件，確定A的坐標，再利用兩點式，即可求AB所在直線方程．
解答：（1）證明：∵A（x1，y1）、B（x2，y2），且
OA
•
OB
=0，
∴x1x2+y1y2=0
∴x1x2+
1
4
（x1x2）2=0
∴x1x2=-4
∵
AM
=(-x1，-2-y1)=（-x1，-2+
1
2
x12），
AB
=（x2-x1，y2-y1）=（x2-x1，-
1
2
x12+
1
2
x22）
∴（-x1）（-
1
2
x12+
1
2
x22）+（x2-x1）（-2+
1
2
x12）=0
∴
AM
∥
AB
；
（2）解：∵
MA
=-2
MB
，∴（x1，2-
1
2
x12）=-2（x2，2-
1
2
x22）
∴x1=-2x2，
∵x1x2=-4，∴x2=
2

∴x1=-2x2=-2
2

∴y1=-
1
2
x12=-4，即A（-2
2
，-4）
∴AB所在直線方程為
y+2
-4+2
=
x
-2
2
，即y=
2
2
x-2．
點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，拋物線y=x2第一象限部分上的一系列點Ai（i=1，2，3，…，n，…）與y正半軸上的點B1及原點，構成一系列正三角形AiBi-1Bi（記B0為O），記ai=|AiAi+1|．
（1）求a1，a2的值；
（2）求數列{an}的通項公式an；
（3）求證：
1
a
2
1
+
1
a
2
2
+
1
a
2
n
+…+
1
a
2
n
＜
9
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸的交點是A（3，0）、B（6，0），與y軸的交點是C．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）設P（x，y）（0＜x＜6）是拋物線上的動點，過點P作PQ∥y軸交直線BC于點Q．
①當x取何值時，線段PQ的長度取得最大值，其最大值是多少？
②是否存在這樣的點P，使∠OQA為直角？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•西城區一模）如圖，拋物線y=-x2+9與x軸交于兩點A，B，點C，D在拋物線上（點C在第一象限），CD∥AB．記|CD|=2x，梯形ABCD面積為S．
（Ⅰ）求面積S以x為自變量的函數式；
（Ⅱ）若
|CD||AB|
≤k，其中k為常數，且0＜k＜1，求S的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，拋物線y=ax2-5ax+4經過△ABC的三個頂點，已知BC∥x軸，點A在x軸上，點C在y軸上，且AC=BC．
（1）寫出A，B，C三點的坐標并求拋物線的解析式；
（2）探究：若點P是拋物線對稱軸上且在x軸下方的動點，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合條件的點P坐標；不存在，請說明理由．

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