Question

一個多面體的三視圖及直觀圖如圖所示，M，N分別是A₁B，B₁C₁的中點；
（Ⅰ）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求直線BC₁和平面A₁BC所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用BC⊥平面ACC₁A₁，可得BC⊥AC₁，在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁，利用線面垂直的判定定理可得AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）直線AC₁與A₁C相交于點Q，連接BQ，則∠QBC₁是直線BC₁和平面A₁BC所成角，從而可求直線BC₁和平面A₁BC所成角的大小．
解答：（Ⅰ）證明：由三視圖可知，在這個多面體的直觀圖中，AA₁⊥平面ABC，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁=a，
連接AC₁，AB₁，
∵BC⊥平面ACC₁A₁，∴BC⊥AC₁
在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁
∵BC∩A₁C=C
∴AC₁⊥平面A₁BC；  
（Ⅱ）設直線AC₁與A₁C相交于點Q，連接BQ，則∠QBC₁是直線BC₁和平面A₁BC所成角
∵BC⊥QC，BC=a，CQ=
∴=
∵
∴在直角△QBC₁中，∠QBC₁=30°
點評：本題考查線面垂直的判定，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．