Question

在古臘畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，15，21，28，…這些數叫做三角形數，因為這些數對應的點可以排成一個正三角形如圖所示，設第n個三角形數為f（n），則

1

f(1)

+

1

f(2)

+

1

f(3)

…+

1

f(n)

=

2n

n+1

．

Answer 1

分析：通過觀察前幾個圖形中頂點的個數得，歸納出f（n），然后根據

1

f(n)

的特點進行求和．

解答：解：∵第n個三角形數為f（n），則f（1）=1，f（2）=3，f（3）=6，f（4）=10，f（5）=15，f（6）=21，
第二個圖中點的個數比第一個圖中點的個數多2，即f（2）-f（1）=2，
第三個圖中點的個數比第二個圖中點的個數多3，即f（3）-f（2）=3，
第四個圖中點的個數比第三個圖中點的個數多4，即f（4）-f（3）=4，
…
第n個圖中點的個數比第n-1個圖中點的個數多n，即f（n）-f（n-1）=n，
等式兩邊同時相加得：
則f（n）=1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

，
即

1

f(n)

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴

1

f(1)

+

1

f(2)

+

1

f(3)

…+

1

f(n)

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．
故答案為：

2n

n+1

．

點評：本題主要考查歸納推理的應用，根據條件求出f（n），然后求出f（n）的表達式，利用裂項法求和即可．