Question

(本小題滿(mǎn)分12分) 已知圓，點(diǎn)，直線(xiàn).
(1) 求與圓相切，且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程；
(2) 在直線(xiàn)上（為坐標(biāo)原點(diǎn)），存在定點(diǎn)（不同于點(diǎn)），滿(mǎn)足：對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，試求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

（1）；（2）存在，且.

解析試題分析：（1）充分利用垂直直線(xiàn)系方程設(shè)直線(xiàn)方程，即若直線(xiàn)垂直于直線(xiàn),則可設(shè)直線(xiàn)方程為：,并利用圓與直線(xiàn)相切時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑的幾何性質(zhì)性質(zhì)求解得直線(xiàn)方程；（2）假設(shè)存在，利用條件表達(dá)出并利用坐標(biāo)化簡(jiǎn)求解.
試題解析：
⑴因所求直線(xiàn)垂直于直線(xiàn)，故設(shè)所求直線(xiàn)方程為，
直線(xiàn)與圓相切，∴，得，∴所求直線(xiàn)方程為 .
⑵假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，當(dāng)為圓與軸左交點(diǎn)時(shí)，；
當(dāng)為圓與軸右交點(diǎn)時(shí)，，依題意，，
解得，（舍去），或.
下面證明 點(diǎn)對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù).
設(shè)，則，
∴，
從而為常數(shù).
考點(diǎn)：(1)直線(xiàn)與圓位置關(guān)系；（2）存在性問(wèn)題.