Question

已知函數，當時，；當（）時，.

（1）求在[0，1]內的值域；

（2）為何值時，不等式在[1，4]上恒成立.

 

Answer 1

【答案】

(1)值域為；(2)當時，不等式在[1，4]上恒成立.

【解析】

試題分析： （1）根據題意得到和是函數的零點且，然后得到解析式。

（2）令

因為上單調遞減，要使在[1，4]上恒成立，只要求解g(x)的最大值即可。

由題意得和是函數的零點且，則（此處也可用韋達定理解）解得：

               ------------6分

(1)由圖像知，函數在內為單調遞減，所以：當時，，當時，.

在內的值域為       --------------- 8分

(2)令

因為上單調遞減，要使在[1，4]上恒成立，

則需要，即

解得當時，不等式在[1，4]上恒成立.    ------12分

考點：本題主要考查了二次函數的圖像與x軸的位置關系，以及二次函數的 最值問題的運用。

點評：解決該試題的關鍵是根據題意得到和是函數的零點且，進而求解得到解析式，進一步研究函數在給定區間的最值。