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對于函數f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x0）的“滯點”，已知函數f（x）=
x2
2x-2
．
（1）試問Cf（x）有無“滯點”？若有，求之，否則說明理由；
（2）已知數列{an}的各項均為負數，且滿足4Sn•f（
1
an
）=1，求數列{an}的通項公式．
分析：（1）令f（x）=x，得一方程，看該方程是否有解即可，注意檢驗；
（2）由題意得4Sn•（
1
an
）2=2（
1
an
-1），所以2Sn=an-an2，故2Sn+1=an+1-an+12，兩式作差可得遞推式，由遞推式及已知條件可判斷該數列為等差數列，由此能求出數列{an}的通項公式．
解答：解：（1）由f（x）=x得
x2
2x-2
=x，即x2-2x=0（x≠1），
解得x=0，或x=2，
∴函數f（x）=
x2
2x-2
有兩個滯點0和2．
（2）由已知4Sn•f（
1
an
）=1，得4Sn•（
1
an
）2=2（
1
an
-1），
∴2Sn=an-an2①，
故2Sn+1=an+1-an+12②，
由②-①得2an+1=an+1-an+12-an+an2，
∴（an+1+an）（an+1-an+1）=0，
∵an＜0，
∴an+1-an=-1，即{an}是等差數列，且d=-1，
當n=1時，由2S1=a1-a12=2a1得a1=-1，
∴an=-n．
點評：本題考查數列與函數的綜合應用，解題時要認真審題，正確理解題意是解決問題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），若存在區間M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區間M為函數f（x）的一個“穩定區間”．給出下列4個函數：
①f（x）=（x-1）2；②f（x）=|2x-1|；③f(x)=cos
π2
x；④f（x）=ex．其中存在“穩定區間”的函數有
 
（填出所有滿足條件的函數序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），若在其定義域內存在兩個實數a，b（a＜b），使當x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]，則稱函數f（x）為“科比函數”．若函數f（x）=k+
x+2
是“科比函數”，則實數k的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點．如果函數
f（x）=ax2+bx+1（a＞0）有兩個相異的不動點x1，x2．
（1）若x1＜1＜x2，且f（x）的圖象關于直線x=m對稱，求證：
12
＜m＜1；
（2）若|x1|＜2且|x1-x2|=2，求b的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），若f（x0）=x0，則稱x0為f（x）的：“不動點”；若f[f（x0）]=x0，則稱x0為f（x）的“穩定點”．函數f（x）的“不動點”和“穩定點”的集合分別記為A和B，即A={x|f[f（x）]=x}．
（1）設函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且A=∅，求證：B=∅；
（2）設函數f（x）=3x+4，求集合A和B，并分析能否根據（1）（2）中的結論判斷A=B恒成立？若能，請給出證明，若不能，請舉以反例．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，則稱x0為函數f（x）的不動點．若函數f（x）=
x2+a
bx-c
（b，c∈N*）有且僅有兩個不動點0和2，且f（-2）＜-
1
2
．
（1）試求函數f（x）的單調區間，
（2）已知各項不為0的數列{an}滿足4Sn•f（
1
an
）=1，其中Sn表示數列{an}的前n項和，求證：(1-
1
an
)an+1＜
1
e
＜(1-
1
an
)an
（3）在（2）的前題條件下，設bn=-
1
an
，Tn表示數列{bn}的前n項和，求證：T2011-1＜ln2011＜T2010．

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