Question

已知函數f（x）=lnax-

x-a

x

（a≠0）．
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當a=1時，是否存在過點（1，-1）的直線與函數y=f（x）的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數，利用導數討論函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）求導數，利用導數的幾何意義進行判斷．

解答：解析：（1）由題意f′(x)=

x-a

x2

．         …（1分）
當a＞0時，函數f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）＞0，則x∈（a，+∞），f'（x）＜0，則x∈（0，a），
此時函數在（0，a）上是減函數，在（a，+∞）上是增函數，…（3分）
當a＜0時，函數f（x）的定義域為（-∞，0），f'（x）＞0，則x∈（a，0），f'（x）＜0，則x∈（-∞，a），
此時函數在（-∞，a）上是減函數，在（a，0）上是增函數．…（5分）
（2）假設存在這樣的切線，設其中一個切點T(x0，lnx0-

x0-1

x0

)，
∴切線方程：y+1=

x0-1

x 2 0

(x-1)，將點T坐標代入得：
lnx0-

x0-1

x0

+1=

(x0-1)2

x 2 0

，即lnx0+

3

x0

-

1

x 2 0

-1=0，①
設g(x)=lnx+

3

x

-

1

x2

-1，則g′(x)=

(x-1)(x-2)

x3

．
令g'（x）=0，則x=1或x=2．…（8分）

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

所以g（x）在區間（0，1），（2，+∞）上是增函數，在區間（1，2）上是減函數，g（x）在x=1處取得極大值g（1）=1，在x=2處取得極小值g(2)=ln2+

1

4

，
所以g（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，即g（x）=0在[1，+∞）上無解．
因為g(

1

4

)=ln

1

4

+12-16-1=-ln4-3＜0，g（1）=1＞0，g（x）在區間（0，1）上單調遞增，
根據零點定理，g（x）在區間（0，1）上有且僅有一個實數根，即方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條．…（12分）

點評：本題主要考查利用導數研究函數的性質，要求熟練掌握導數和函數單調性，極值之間的關系，考查學生的運算能力．