Question

下列四個命題：
①“a＞b”是“2^a＞2^b”成立的充要條件；
②“a=b”是“lga=lgb”成立的充分不必要條件；
③函數f（x）=ax²+bx（x∈R）為奇函數的充要條件是“a=0”
④定義在R上的函數y=f（x）是偶函數的必要條件是“

f(-x)

f(x)

=1”．
其中真命題的序號是

①③

．（把真命題的序號都填上）

Answer 1

分析：根據函數y=2^x是R上的增函數可得①正確．通過舉反例可得②不正確．根據奇函數的定義可得③正確．由偶函數的定義不能推出“

f(-x)

f(x)

=1”，但由“

f(-x)

f(x)

=1”能推出
函數y=f（x）是偶函數，可得④不正確．

解答：解：由于函數y=2^x是R上的增函數，故由“a＞b”能推出“2^a＞2^b”，而且由“2^a＞2^b”成立能推出“a＞b”成立，故①“a＞b”是“2^a＞2^b”成立的充要條件，故①正確．
由②“a=b”成立不能推出“lga=lgb”成立，如a=b=-1時，“lga=lgb”不成立．但由“lga=lgb”成立，能推出“a=b”成立，故“a=b”是“lga=lgb”成立的充分不必要條件，
故②不正確．
函數f（x）=ax²+bx（x∈R）為奇函數，等價于f（-x）=-f（x），即 ax² -bx=-（ax²+bx），等價于 a=0，故函數f（x）=ax²+bx（x∈R）為奇函數的充要條件是“a=0”，
故③正確．
由函數y=f（x）是偶函數可得 f（-x）=f（x），但不能推出“

f(-x)

f(x)

=1” 成立，（如f（x）=0時）．但由“

f(-x)

f(x)

=1”可得  f（-x）=f（x），即函數y=f（x）是偶函數，
故定義在R上的函數y=f（x）是偶函數的充分條件是“

f(-x)

f(x)

=1”，故④不正確．

點評：本題主要考查充分條件、必要條件、充要條件的定義，函數的奇偶性可單調性，屬于基礎題．