Question

已知函數(a，c∈R，a＞0，b是自然數)是奇函數，f(x)有最大值，且f(1)＞．

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)是否存在直線l與y＝f(x)的圖象交于P、Q兩點，并且使得P、Q兩點關于點(1，0)對稱，若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(x)是奇函數 　　∴f(－x)＝－f(x)，即 　　 　　∴－bx＋c＝－bx－c 　　∴c＝0 　　∴f(x)＝………………3分 　　由a＞0，b是自然數得當x≤0時，f(x)≤0， 　　當x＞0時，f(x)＞0 　　∴f(x)的最大值在x＞0時取得． 　　∴x＞0時， 　　當且僅當 　　即時，f(x)有最大值 　　∴＝1,∴a＝b2　　① 　　又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a＋2　　② 　　把①代入②得2b2－5b＋2＜0解得＜b＜2 　　又b∈N,∴b＝1,a＝1,∴f(x)＝………………6分 　　(2)設存在直線l與y＝f(x)的圖象交于P、Q兩點，且P、Q關于點(1，0)對稱， 　　P(x0,y0)則Q(2－x0,－y0)，∴,消去y0，得x02－2x0－1＝0 　　解之，得x0＝1±,………………8分 　　∴P點坐標為()或() 　　進而相應Q點坐標為Q()或Q()．………………10分 　　∴存在這樣的直線l，其方程為