Question

設各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，對于任意的正整數n都有等式

S1

a1+2

+

S2

a2+2

+…+

Sn

an+2

=

1

4

Sn成立．
（1）求證Sn= 

1

4

a

2 n

+

1

2

an（n∈N⁺）；
（2）求數列{S_n}的通項公式；
（3）記數列{

1

Sn

}的前n項和為T_n，求證T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）根據Sn與an的固有關系an=

s1    n=1 sn-sn-1    n≥2

，結合已知

S1

a1+2

+

S2

a2+2

+…+

Sn

an+2

=

1

4

Sn，代入化簡，整理．注意n=1情況．
（2）在（1）的基礎上，再次利用根據Sn與an的固有關系，求數列{a_n}的通項，探求數列{a_n}的性質，以利于求解．
（3）由（2）可求得S_n=n（n+1），

1

Sn

=

1

n

-

1

n+1

，用裂項求和法即可獲解．

解答：解：（1）當n=1時，a₁=2．
當n≥2時，
a_n=s_n-s_n-1=4•

Sn

an+2

，
∴Sn=

1

4

an2+

1

2

an，
當n=1時，也符合Sn=

1

4

an2+

1

2

an，
∴Sn=

1

4

an2+

1

2

an(n∈N*)
（2）當n≥2時，
an=Sn-Sn-1=

1

4

an2+

1

2

an-

1

4

an-12-

1

2

an-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2
于是數列{a_n}是首項為2，
公差為2的等差數列．∴Sn=n×2+

n(n-1)

2

×2=n(n+1)）
（3）由（2）知

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=1-

1

n+1

＜1

點評：本題考查Sn與an關系的具體應用，等差數列的定義，數列裂項求和知識和方法．要注意對n的值進行討論．