Question

已知橢圓的長軸長為4，離心率為，分別為其左右焦點．一動圓過點，且與直線相切．

（Ⅰ）（ⅰ）求橢圓的方程； （ⅱ）求動圓圓心的軌跡方程；

（Ⅱ） 在曲線上有兩點，橢圓上有兩點，滿足與共線，

與共線，且，求四邊形面積的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（i）,（ⅱ）. （Ⅱ）四邊形PMQN面積的最小值為8. 

【解析】第一問中，

、

第二問中，由已知可得動圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線的焦點為(1,0)，準線方程為，則動圓圓心軌跡方程為.當直線的斜率不存在時，=4,  此時的長即為橢圓長軸長,=4,

   從而

當直線的斜率存在時，設斜率為，則，直線的方程為

直線的方程為， 設，,,

     由，消去y可得

      由拋物線定義可知：

解：由已知可得

（ⅱ）由已知可得動圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線的焦點為(1,0)，準線方程x=-1，則動圓圓心軌跡方程為.                 ------------6分

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，=4,  此時的長即為橢圓長軸長,=4,

   從而  …………… 7分

  當直線的斜率存在時，設斜率為，則，直線的方程為

直線的方程為， 設，,,

     由，消去y可得

      由拋物線定義可知：

   ……………9分

   由消去y得，

    令，∵k>0則t>1  ,則

    因為  ,  所以       

所以四邊形PMQN面積的最小值為8       ……………12分