Question

已知斜率為1的直線l與雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)交于B，D兩點，BD的中點為M（1，3）．
（Ⅰ）求C的離心率；
（Ⅱ）設C的右焦點為F，|DF|•|BF|≤17，求b²-a²取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）寫出直線l的方程，和雙曲線方程聯立后化為關于x的一元二次方程，利用根與系數關系得到兩個交點B，D的橫坐標的和，結合BD的中點為M（1，3）列式求得C的離心率；
（Ⅱ）化簡雙曲線的方程，進一步把B，D兩點的橫坐標的和與積用僅含a的代數式表示，用兩點間的距離公式寫出|BF|和|DF|，代入|DF|•|BF|≤17，然后把根與系數的關系代入得到含有a的不等式，求解不等式得到a的取值范圍，則b²-a²取值范圍可求．

解答：解：（I）由題知，l的方程為：y=x+2．
代入C的方程，并化簡，得（b²-a²）x²-4a²x-4a²-a²b²=0．
設B（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）則x1+x2=

4a2

b2-a2

，x1x2=-

4a2+a2b2

b2-a2

   ①
由M（1，3）為BD的中點知

x1+x2

2

=1，故

1

2

•

4a2

b2-a2

=1，
即b²=3a²  ②
故c=

a2+b2

=2a，所以C的離心率e=

c

a

=2；
（II）由①、②知C的方程為：3x²-y²=3a²．
F（2a，0），x1+x2=2，x1x2=-

4+3a2

2

＜0．
故不妨設x₁≤-a，x₂≥a
|BF|=

(x1-2a)2+y12

=

(x1-2a)2+3x12-3a2

=a-2x1，
|FD|=

(x2-2a)2+y22

=

(x2-2a)2+3x22-3a2

=2x2-a，
|BF|•|DF|=（a-2x₁）（2x₂-a）=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2
=-4×(-

4+3a2

2

)+4a-a2=5a2+4a+8．
又|BF|•|DF|≤17，故5a²+4a+8≤17，
解得-

9

5

≤a≤1，故0＜a≤1．
由e=2，得b²=3a²，故b²-a²=2a²∈（0，2]．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，直線與圓錐曲線的關系問題是高考的重點，常以壓軸題的形式出現，往往采用“設而不求”的解題方法，解答的關鍵是正確利用方程的根與系數的關系，有時運算量較大，要求學生有較強的計算能力，是難題．