Question

設函數f（x）與g（x）的定義域是x∈R且x≠±1，f（x）是偶函數，g（x）是奇函數，且f(x)+g(x)=

1

x-1

．
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）指出f（x）的單調增減區間并證明．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）是偶函數，g（x）是奇函數，列出方程組，直接求f（x）和g（x）的解析式；
（2）通過導數，判斷函數的單調性，指出f（x）的單調增減區間．

解答：解：（1）∵f（x）是偶函數，g（x）是奇函數，
∴f（-x）=f（x），且g（-x）=-g（x）
而f(x)+g(x)=

1

x-1

，…①
得f(-x)+g(-x)=

1

-x-1

，
即f(x)-g(x)=

1

-x-1

=-

1

x+1

，…②
解①②得f(x)=

1

x2-1

，g(x)=

x

x2-1

．
（2）f(x)=

1

x2-1

，所以f′(x)=

-2x

(x2-1)2

，
令f′（x）＜0，即

-2x

(x2-1)2

＜0，解得x＞0，
函數的定義域為：x∈R且x≠±1，
所以函數f(x)=

1

x2-1

在（0，1），（1，+∞）是減函數；
因為函數是偶函數，
所以在（-∞，-1），（-1，0）是增函數．

點評：本題考查函數的解析式的求法，函數的對數的應用，單調區間的求法，考查計算能力．