Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F₁，F₂，左頂點為A，若|F₁F₂|=2，橢圓的離心率為e=

1

2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求

PF1

•

PA

的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且

AH

2=

MH

•

HN

，求證：直線l恒過定點．

Answer 1

分析：（ I）由題意可得到：c=1，a=2，b=

3

從而寫出橢圓的標準方程；
（II）設P（x₀，y₀）利用向量的數量積即可墳得

PF1

•

PA

，再結合橢圓方程得-2≤x≤2，利用二次函數的圖象與性質即可求得

PF1

•

PA

的取值范圍；
（III）先將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量的數量積公式即可求得m值，從而解決問題．

解答：解：（ I）由題意得c=1，a=2，b=

3

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（II）設P（x₀，y₀），A（-2，0），F₁（-1，0）

PF1

•

PA

=(-1-x0)(-2-x0)+

y

2 0

=

1

4

x2+3x+5
由橢圓方程得-2≤x≤2，二次函數開口向上，對稱軸x=-6＜-2
當x=-2時，取最小值0，
當x=2時，取最大值12

PF1

•

PA

的取值范圍是[0，12]（9分）
（III）

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0
由△＞0得4k²+3＞m²※
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，

AM

•

AN

=(

AH

+

HM

)•(

AH

+

HN

)=

AH

2+

AH

•

HN

+

HM

•

AH

+

HM

•

HN

=0
∴（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0
即（1+k²）x₁x₂+（2+km）（x₁+x₂）+4+m²=0
∴4k²-16km+7m²=0k=

1

2

m或k=

7

2

m均適合※（12分）
當k=

1

2

m時，直線過A，舍去，故k=

7

2

m
當k=

7

2

m時，直線y=kx+

2

7

k過定點(-

2

7

，0)（13分）

點評：本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數量積等基礎知識，以及綜合應用數學知識解決問題及推理計算能力．本題為中檔題，需要熟練運用設而不求韋達定理．