Question

設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且當-1≤x≤0時，f（x）=2x³+5ax²+4a²x+b．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）當1＜a≤3時，求函數f（x）在（0，1]上的最大值g（a）；
（Ⅲ）如果對滿足1＜a≤3的一切實數a，函數f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由-1≤x≤0得到-x的范圍，因為函數為奇函數，所以得到f（x）=-f（-x），把-x代入f（x）的解析式即可確定出f（x）在0＜x≤1時的解析式，且得到f（0）=0，；聯立可得f（x）的分段函數解析式；
（Ⅱ）當x大于0小于等于1時，求出f（x）的導函數等于0時x的值，利用x的值分

2a

3

大于

2

3

小于1和

2a

3

大于等于1小于等于2兩種情況考慮導函數的正負，得到函數的單調區間，利用函數的增減性分別求出相應的最大值g（a），聯立得到g（a）的分段函數表達式；
（Ⅲ）要使函數f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，必須f（x）在（0，1]上的最大值g（a）≤0．也即是對滿足1＜a≤3的實數a，g（a）的最大值要小于或等于0．由（Ⅱ）求出g（a）的解析式，分a大于1小于

3

2

和a大于等于

3

2

小于等于3兩種情況考慮g（a）的解析式，分別求出相應g（a）的導函數，利用導函數的正負判斷g（a）的單調性，根據g（a）的增減性得到g（a）的最大值，利用g（a）的最大值列出關于b的不等式，求出兩不等式的公共解集即可滿足題意的b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當0＜x≤1時，-1≤-x＜0，則
f（x）=-f（-x）=2x³-5ax²+4a²x-b．
當x=0時，f（0）=-f（-0）∴f（0）=0；
∴f（x）=

2x3+5ax2+4a2x+b，(-1≤x＜0) 2x3-5ax2+4a2x-b，(0＜x≤1) f(0)=0

；
（Ⅱ）當0＜x≤1時，f′（x）=6x²-10ax+4a²=2（3x-2a）（x-a）=6（x-

2a

3

）（x-a）．
①當

2

3

＜

2a

3

＜1，即1＜a＜

3

2

時，
當x∈（0，

2a

3

）時，f′（x）＞0，當x∈（

2a

3

，1]時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

2a

3

）單調遞增，在（

2a

3

，1]上單調遞減，
∴g（a）=f（

2a

3

）=

28

27

a³-b．
②當1≤

2a

3

≤2，即

3

2

≤a≤3時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1]單調遞增．
∴g（a）=f（1）=4a²-5a+2-b，
∴g（a）=

28 27 a3-b，(1＜a＜ 3 2 ) 4a2-5a+2-b，( 3 2 ≤a≤3)

（Ⅲ）要使函數f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，必須f（x）在（0，1]上的最大值g（a）≤0．
也即是對滿足1＜a≤3的實數a，g（a）的最大值要小于或等于0．
①當1＜a≤

3

2

時，g′（a）=

28

9

a²＞0，此時g（a）在（1，

3

2

）上是增函數，
則g（a）＜

28

27

(

3

2

)3-b=

7

2

-b．∴

7

2

-b≤0，解得b≥

7

2

；
②當

3

2

≤a≤3時，g′（a）=8a-5＞0，此時，g（a）在[

3

2

，3]上是增函數，g（a）的最大值是g（3）=23-b．
∴23-b≤0，解得b≥23．
由①、②得實數b的取值范圍是b≥23．

點評：此題考查學生會利用導數求閉區間上函數的最值，靈活運用函數的奇偶性解決數學問題，考查了分類討論的數學思想，是一道綜合題．