Question

設數列的前項和為，對一切，點在函數的圖象上.
（1）求a₁，a₂，a₃值，并求的表達式；
（2）將數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分別計算各個括號內所有項之和，并設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為，求的值；
（3）設為數列的前項積，是否存在實數，使得不等式對一切都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

，2010，

解：（1）點在函數上，.
所以a₁=S₁=2，a₂= S₂- S₁=4，a₃= S₃- S₂=6
當時，
檢驗：當時，滿足..
（2）因為（），所以數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循環記為一組．由于每一個循環含有4個括號， 故 是第25組中第4個括號內各數之和．由分組規律知，由各組第4個括號中所有第1個數組成的數列是等差數列，且公差為20. 同理，由各組第4個括號中所有第2個數、所有第3個數、所有第4個數分別組成的數列也都是等差數列，且公差均為20. 故各組第4個括號中各數之和構成等差數列，且公差為80. 注意到第一組中第4個括號內各數之和是68，
所以 ．又=22，所以="2010."
（3）因為，故，
所以．
又對一切都成立，即
對一切都成立
設，則只需即可．
由于，
所以，故是單調遞減，于是 
令，即 ，解得，或．
綜上所述，使得所給不等式對一切都成立的實數存在，的取值范圍是
．