Question

已知函數.

（Ⅰ）當時，求的單調遞增區間；

（Ⅱ）求證：曲線總有斜率為的切線；

（Ⅲ）若存在，使成立，求的取值范圍.

Answer 1

解：（Ⅰ）當時，函數.          

.                        ……………………………………2分

     令，解得或.   ……………………………………3分

所以，函數的單調遞增區間是，.

……………………………………4分

（Ⅱ）

令，即.

因為，

所以恒成立.               ……………………………………6分

所以方程對任意正數恒有解.……………………………………7分

所以 曲線總有斜率為的切線.      ……………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：.

令，解得.    

.                                       ……………………………………9分

因為，所以當時，的變化情況如下表

		+	0	-	0	+
		↗		↘		↗

因為，

所以，對于任意，.即此時不存在，使成立.

                                          ……………………………………11分

當時，的變化情況如下表

		+	0	-
		↗		↘

因為，

所以，函數在上的最小值是.          

因為存在，使成立，

所以，.

所以，.                             ……………………………………13分

所以的取值范圍是.              ……………………………………14分