Question

（2011•重慶一模）已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1d的右焦點，點A、B為拋物線上的兩點，O是拋物線的頂點，OA⊥OB．
（I）求拋物線的標準方程；
（Ⅱ）求證：直線AB過定點M（4，0）；
（III）設弦AB的中點為P，求點P到直線x-y=0的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知

p

2

=1，從而可求得拋物線的標準方程
證明：（Ⅱ）法一：設直線AB方程為x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立直線與拋物線方程，根據方程的根與系數關系可求y₁+y₂，y₁y₂，由y12=4x1，y22=4x2可求x₁x₂，而OA⊥OB可得KOA•KOB=

y1y2

x1x2

=

16

y1y2

=-

4

b

=-1可求b，從而可求直線AB所經過的定點
法二：①當直線AB的斜率不存在時，易求直線AB的方程為x=4，
②當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為：y=kx+b（k≠0），聯立直線與拋物線方程，根據方程的根與系數關系可求y₁+y₂，y₁y₂，由y12=4x1，y22=4x2可求x₁x₂，而OA⊥OB可得KOA•KOB=

y1y2

x1x2

=

16

y1y2

=-1可求b與k的關系，從而可求直線AB所經過的定點
（Ⅲ）可求點P(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

 )到直線x-y=0的距離：d=

| x1+x2 2 - y1+y2 2 |

2

，結合方程的根與系數關系，代入整理，結合二次函數的性質可求d的最小值

解答：解：（Ⅰ）橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點（1，0），由題意知

p

2

=1
∴p=2．…（2分）
拋物線的標準方程為y²=4x．…（3分）
證明：（Ⅱ）法一：設直線AB方程為x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由 

x=my+b y2=4x

   得y²-4my-4b=0．…（4分）
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b．…（5分）
∵OA⊥OB，y12=4x1，y22=4x2
∴KOA•KOB=

y1y2

x1x2

=

16

y1y2

=-

4

b

=-1，
∴b=4．…（7分）
∴直線AB的方程為x=my+4，該直線恒過定點M（4，0）．…（8分）
法二：①當直線AB的斜率不存在時，易求直線AB的方程為x=4，
直線AB過定點（4，0）．  …（4分）
②當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為：y=kx+b（k≠0），
由

y=kx+b y2=4x

得ky²-4y+4b=0．
則y1+y2=

4

k

，y1y2=

4b

k

．           …（5分）
∵OA⊥OB，y12=4x1，y22=4x2，
∴KOA•KOB=

y1y2

x1x2

=

16

y1y2

=

4k

b

=-1
∴b=-4k．…（7分）
直線AB的方程為y=kx-4k=k（x-4）該直線恒過定點M（4，0）．…（8分）
（Ⅲ）點P(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

 )到直線x-y=0的距離：d=

| x1+x2 2 - y1+y2 2 |

2

=

|y12+y22-4(y1+y2)|

8 2

=

|(y1+y2)2-2y1y2-4(y1+y2)|

8 2

=

|16m2+32-16m|

8 2

=

2

(m2-m+2)=

2

(m-

1

2

)2+

7 2

4

（10分）
∴m=

1

2

時，d取最小值為

7 2

4

．…（12分）

點評：本題主要考查了直線與拋物線的相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，點到直線的距離公式的應用及二次函數的性質的應用，屬于綜合試題