Question

已知橢圓C₁：

x2

5

+

y2

2

=1和圓C：x²+y²=4，且圓C與x軸交于A₁，A₂兩點．
（1）設橢圓C₁的右焦點為F，點P的圓C上異于A₁，A₂的動點，過原點O作直線PF的垂線交橢圓的右準線交于點Q，試判斷直線PQ與圓C的位置關系，并給出證明；
（2）設點M（x₀，y₀）在直線x+y-3=0上，若存在點N∈C，使得∠OMN=60°（O為坐標原點），求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓方程可求得焦點坐標和右準線方程，設點P，代入圓方程求得x₀，y₀的關系，進而表示出直線PF，OQ的斜率，進而可推斷出直線OQ的方程，把x=2

2

代入求得y，求得Q點的坐標，進而求得PQ的斜率的表達式，結果與OP的斜率乘積為-1，推斷出OP⊥PQ進而可知直線P與圓C相切
（2）設∠OMN=θ，則依題意可知θ≥60°，進而求得sinθ的范圍，根據ON=2確定OM的范圍，進而根據點M在直線l上，求得x₀，y₀的關系式，進而根據x₀²+y₀²≤

16

3

，求得x₀的取值范圍．

解答：解：（1）直線P與圓C相切．
證明如下：易得橢圓C₁的右焦點為F（

2

，0），
右準線為x=2

2

設點P（x₀，y₀）則有x₀²+y₀²=4，
又k_PF=

y0

x0- 2

，k_OQ=-

x0- 2

y0

∴直線OQ的方程為y=

x0- 2

y0

x
令x=2

2

，得y=-

2 2 (x0- 2 )

y0

，
即Q（2

2

，-

2 2 (x0- 2 )

y0

）
∴k_PQ=

y0+ 2 2 (x0- 2 ) y0

x0-2 2

=-

x0(x0-2 2 )

y0(x0-2 2)

=-

x0

y0

又k_OP=

y0

x0

于是有k_PQ•k_OP=-1，故OP⊥PQ，直線P與圓C相切
（2）如圖，設∠OMN=θ，則θ≥60°，
即sinθ≥

3

2

，即

ON

OM

≥

3

2

，
而ON=2，∴OM≤

4

3

∵M（x₀，y₀），∴x₀²+y₀²≤

16

3

，
又由M（x₀，y₀）∈l，得x₀+y₀=3，
∴y₀=3-x₀，于是有x₀²+（3-x₀）²≤

16

3

，
整理，得6x₀²-18x₀+11≤0，
解得

9- 15

6

≤x₀≤

9+ 15

6

∴x₀的取值范圍是[

9- 15

6

，

9+ 15

6

]

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識體系的重點內容，問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運算量繁簡差別很大，故此類問題能有效地考查考生分析問題、解決問題的能力，故應作為平時復習的重點．