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已知拋物線的焦點為橢圓的右焦點,且橢圓的長軸長為4，M、N是橢圓上的的動點.
（1）求橢圓標準方程；
（2）設動點滿足：，直線與的斜率之積為，證明：存在定點使
得為定值，并求出的坐標；
（3）若在第一象限，且點關于原點對稱，垂直于軸于點，連接 并延長交橢圓于點，記直線的斜率分別為，證明：.

（1）；（2）存在使得;（3）證明過程詳見試題解析.

解析試題分析：（1）由雙曲線的焦點與橢圓的焦點重合求出橢圓中的，再由，求出所求橢圓方程為；（2）先設，由,結合橢圓的標準方程可以得到使得為定值；（3）要證明就是要考慮,詳見解析.
試題解析：（1）由題設可知：因為拋物線的焦點為，
所以橢圓中的又由橢圓的長軸為4得
故   
故橢圓的標準方程為： 
（2）設，
由可得：
   
由直線OM與ON的斜率之積為可得：
 ，即  
由①②可得： 
M、N是橢圓上的點，故
故，即 
由橢圓定義可知存在兩個定點，
使得動點P到兩定點距離和為定值;
（3）設，由題設可知 ，
由題設可知斜率存在且滿足.
  
將③代入④可得：⑤
點在橢圓，
故  
  
考點：直線與圓錐曲線.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓E：＝1(a>b>0)的右焦點為F，過原點和x軸不重合的直線與橢圓E相交于A，B兩點，且|AF|＋|BF|＝2，|AB|的最小值為2.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若圓x2＋y2＝的切線L與橢圓E相交于P，Q兩點，當P，Q兩點橫坐標不相等時，OP(O為坐標原點)與OQ是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓E：＝1(a＞b＞0)，F1(－c,0)，F2(c,0)為橢圓的兩個焦點，M為橢圓上任意一點，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|構成等差數列，點F2(c,0)到直線l：x＝的距離為3.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若存在以原點為圓心的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且⊥，求出該圓的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點是，又點在橢圓上．
（1）求橢圓的方程;
（2）已知直線的斜率為，若直線與橢圓交于、兩點，求面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，點A在橢圓C上，·＝0,3||·||＝－5·，||＝2，過點F2且與坐標軸不垂直的直線交橢圓于P，Q兩點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)線段OF2(O為坐標原點)上是否存在點M(m,0)，使得·＝·？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知動點P與平面上兩定點連線的斜率的積為定值.
（1）試求動點P的軌跡方程C.
（2）設直線與曲線C交于M、N兩點，當|MN|=時，求直線l的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知A，B，C是橢圓W：＋y2＝1上的三個點，O是坐標原點．
(1)當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；
(2)當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－ (p>2)．若拋物線C：y2＝2px上的點到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若拋物線上任意一點M處的切線l與直線l2交于點N，試問在x軸上是否存在定點Q，使Q點在以MN為直徑的圓上，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點為雙曲線的一個焦點，且兩條曲線都經過點.
（1）求這兩條曲線的標準方程；
（2）已知點在拋物線上，且它與雙曲線的左，右焦點構成的三角形的面積為4，求點 的坐標.

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