Question

已知定義在(

3

2

，3)上的兩個函數f(x)=

a

1+x2

，g(x)=

1

x

-

3

16

，y=f(x)的圖象在點A(

3

，f

3

)處的切線的斜率為-

3

4

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）試求實數k的最大值，使得對任意x∈(

3

2

，3)，不等式f(x)≥kg(x)恒成立；
（3）若x1，x2，x3∈(

3

2

，3)，且3x1x2x3=2(x1x2+x2x3+x3x1)，求證：

1

1+ x 2 1

+

1

1+ x 2 2

+

1

1+ x 2 3

≥

3

5

．

Answer 1

分析：（1）求f′（x），進一步求出f′（

3

），令其等于-

3

4

，得a值，代入得f（x）的解析式；
（2）把解析式代入不等式，觀察f（x）、g（x）均為正數，分離參數，設另一邊為函數h（x），求其導函數，令h′（x）＞0，令h′（x）＜0，得函數h（x）的單調性，進一步求出其最大值，代入不等式可求k的范圍，即得k的最大值．
（3）由（2）的結論可得

2

1+x2

≥

32

25

（

1

x

-

3

16

），在上式中分別令x=x₁，x₂，x₃，三式左右兩邊分別相加得一不等式，通分，結合所給等式，可得所求結果．

解答：解：（1）由f′(x)=-

2ax

(1+x2)2

及f′(

3

)=-

3

4

即可求得a=2，則f(x)=

2

1+x2

；（3分）
（2）當x∈(

3

2

，3)時，

1

x

＞

1

3

＞

3

16

?g(x)=

1

x

-

3

16

＞0，
不等式f（x）≥kg(x)?

2

1+x2

≥k•

16-3x

16x

?

32

k

≥

(16-3x)(1+x2)

x

（5分）
令h(x)=

(16-3x)(1+x2)

x

=-3x2+16x+

16

x

-3，x∈(

3

2

，3)
由于h′(x)=

-6x3+16x2-16

x2

=

-6(x-2)(x- 1+ 13 3 )(x- 1- 13 3 )

x2

（7分）
當x∈(

3

2

，

1+ 13

3

)時，h′(x)＜0；
當x∈(

1+ 13

3

，2)時，h′(x)＞0；
當x∈（2，3）時，h'（x）＜0．
又h(

3

2

)=

23×13

12

＜25=h(2)，
故h（x）_max=h（2）=25，
于是由

32

k

≥25得k≤

32

25

，即k的最大值為

32

25

；（10分）
（3）由（2）知，

2

1+x2

≥

32

25

•

16-3x

16x

在上式中分別令x=x₁，x₂，x₃再三式作和即得

2

1+ x 2 1

+

2

1+ x 2 1

+

2

1+ x 2 3

≥

32

25

(

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

-

9

16

)=

32

25

(

x1x2+x2x3+x3x1

x1x2x3

-

9

16

)=

32

25

•(

3

2

-

9

16

)=

6

5

，
所以有

1

1+ x 2 1

+

1

1+ x 2 2

+

1

1+ x 2 3

≥

3

5

．（14分）

點評：本題考查導數在最大值問題中的應用，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件；
證明不等式一般會用到上面的結論，仔細觀察要證式子及已證式子的特點，兩者如何連接．