Question

（1）證明：；
（2）若為上的動點，與平面所成最大角的正切值為，求銳二面角的余弦值；
（3）在（2）的條件下，設，求點到平面的距離。

Answer 1

略

（1）證明：由四邊形為菱形，，知為正三角形
∵為的中點∴，又∴…………………………1分
∵平面，平面∴
而平面，平面,且,
∴平面，又平面，∴…………………………3分
（2）設，連結         
由（1）知平面,而,∴，
則為與平面所成的角。………………………………………………4分
在中，，當最小時，即當時，最大，此時
因此，
又 ∴∴…………………………………………………5分
方法一：平面，平面， ∴平面平面
過作于，則平面，過作于，連結，則為二面角的平面角。…………………………………………………… 6分
在中，
又為的中點，∴在中，,
又
在中，         
即所求二面角的余弦值為……………………………………………………………7分
方法二：由（1）知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則：
∴………………………………………………………7分
設平面的一個法向量為，
則，因此
取，則……………………………………………………………8分
∵，平面
故為平面的法向量。……………………………………………………6分
∴         
二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為…………………………………………7分
（3）方法一：由（2）得：在中，，∴
在中，，∴中，，
又,∴………………………………………………………………8分
又，點到平面的距離，…………………9分
設點到平面的距離為，
∵，∴，
∴………………………………………………………………10分
方法二：由（2）解法2知，平面的一個法向量為……………………8分
又∵         
∴點到平面的距離為…………………………………10分
其余方法請酌情給分！！