Question

已知以原點O為中心的橢圓，它的短軸長為，右焦點（c>0），它的長軸長為2a（a>c>0），直線與x軸相交于點A，，過點A的直線與橢圓相交于P．Q兩點．

（Ⅰ） 求橢圓的方程和離心率；

（Ⅱ） 若，求直線PQ的方程；

（Ⅲ）設，過點P且平行于直線的直線與橢圓相交于另一點M，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）解：由題意，可知橢圓的方程為．           

由已知得                            

解得，c=2，                                     

所以橢圓的方程為，離心率．                      

（Ⅱ）解：由（1）可得A（3，0）．設直線PQ的方程為y=k（x－3）．

聯立方程組，得（3k2+1）x2－18k2x+27k2－6=0，           

依題意△=12（2－3k2）>0，得．                         

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則

，  ①      ．  ②               

由直線PQ的方程得為y1=k（x1－3），y2=k（x2－3），于是，

y1y2=k2（x1－3） （x2－3）= k2[x1x2－3（x1+ x2）+9]．        ③

∵，∴x1x2+y1y2=0．    ④                             

由①②③④得5k2=1，從而．

所以直線PQ的方程為或．           

（理科做）

（Ⅲ）證明：∵P（x1，y1），Q（x2，y2）， A（3，0），

∴，．由已知得方程組

，注意λ>1，解得，                 

因為F（2，0）， M（x1，－y1），故

．

                                                               

而，所以．