Question

（廣東地區2008年01月期末試題） 已知點的坐標分別是，，直線相交于點M，且它們的斜率之積為．

（1）求點M軌跡的方程；

（2）若過點的直線與（1）中的軌跡交于不同的兩點、（在、之間），試求與面積之比的取值范圍（為坐標原點）．

Answer 1

（），

解析:

解（1）設點的坐標為，

∵，∴．

整理，得（），這就是動點M的軌跡方程．

（2）方法一  由題意知直線的斜率存在，

設的方程為（）           ①

將①代入，

得，

由，解得．

設，，則     ②

令，則，即，即，且

                                              

由②得，

即

．

且且．

解得且

，且．

∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是．

方法二   由題意知直線的斜率存在，

設的方程為            ①

將①代入，

整理，得，

由，解得．

設，，則          ② 

令，且 .

將代入②，得

∴．即．

∵且，∴且．

即且．

解得且．

，且．

故△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是．