Question

A 若f（x）=2^x+2^-xlga是奇函數，則實數a=

1

10

．
B 已知關于x的方程x³-ax²-2ax+a²-1=0有且只有一個實根，則實數a的取值范圍是

a＜

3

4

．

Answer 1

分析：A．f（x）=2^x+2^-xlga是奇函數，可得f（-x（+f（x）=0，代入，即可求得實數a的值；
B．先把方程變形為關于a的一元二次方程，然后利用求根公式解得a=x-1或a=x²+x+1，進而有x=a+1或x²+x+1-a=0，根據原方程只有一個實數根，確定方程x²+x+1-a=0沒有實數根，從而得到a的取值范圍．

解答：解：A，∵f（x）=2^x+2^-xlga是奇函數，
∴f（-x）+f（x）=0，即2^-x+2^xlga+2^x+2^-xlga=0
∴1+lga=0
∴a=

1

10

；
B，把方程變形為關于a的一元二次方程：a²-（x²+2x）a+x³-1=0，則△=（x²+2x）²-4（x³-1）=（x²+2）²，
∴a=

x 2+2x±(x 2+2)

2

，即a=x-1或a=x²+x+1．
所以有：x=a+1或x²+x+1-a=0．
∵關于x³-ax²-2ax+a²-1=0只有一個實數根，
∴方程x²+x+1-a=0沒有實數根，即△′＜0，
∴1-4（1-a）＜0，解得a＜

3

4

．
所以a的取值范圍是a＜

3

4

．
故答案為：

1

10

，a＜

3

4

．

點評：本題考查函數的奇偶性，考查方程根的研究，B中把方程變形為關于a的一元二次方程，這種方法很有創意．