Question

(本小題滿分12分)

已知橢圓的焦點在軸上，離心率為，對稱軸為坐標軸，且經過點．

（I）求橢圓的方程；

（II）直線與橢圓相交于、兩點， 為原點，在、上分別存在異于點的點、，使得在以為直徑的圓外，求直線斜率的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）。

【解析】

試題分析：（I）依題意，可設橢圓的方程為．

由 

∵ 橢圓經過點，則，解得

∴ 橢圓的方程為…………………

（II）聯立方程組，消去整理得………………

∵ 直線與橢圓有兩個交點，

∴ ，解得  ①…………………

∵ 原點在以為直徑的圓外，

∴為銳角，即．

而、分別在、上且異于點，即………………

設兩點坐標分別為，

則

解得  ，                  ②…………………

綜合①②可知：…………………

考點：橢圓的標準方程；橢圓的簡單性質；直線與橢圓的綜合應用。

點評：（1）有關直線與橢圓的綜合應用，經常用到的步驟為：設點→聯立方程→消元→韋達定理。（2）在第二問中，合理轉化是解題的關鍵，即把“O在以MN為直徑的圓外”這個條件轉化為“”。