Question

如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，O為CD的中點，沿AO將△AOD折起，使DB＝.

(1)求證：平面AOD⊥平面ABCO；
(2)求直線BC與平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)證明:∵在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，O為CD中點，
∴△AOD，△BOC為等腰直角三角形，∴∠AOB＝90°，即OB⊥OA.
取AO中點H，連接DH，BH，則OH＝DH＝，
在Rt△BOH中，BH²＝BO²＋OH²＝，
在△BHD中，DH²＋BH²＝²＋＝3，又DB²＝3，
∴DH²＋BH²＝DB²，∴DH⊥BH.
又DH⊥OA，OA∩BH＝H，∴DH⊥面ABCO，而DH?平面AOD，∴平面AOD⊥平面ABCO.
(2)解　分別以OA，OB所在直線為x軸和y軸，O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(0，，0)，A(，0,0)，D，C.
∴＝(－，，0)，＝，＝.
設平面ABD的一個法向量為n＝(x，y，z)，

由得
即x＝y，x＝z，令x＝1，則y＝z＝1，取n＝(1,1,1)．
設α為直線BC與平面ABD所成的角，則sin α＝＝.
即直線BC與平面ABD所成角的正弦值為.