Question

如圖，已知點F（1，0），直線l：x=-1，P為平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，若

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點M（-1，0）作直線m交軌跡C于A，B兩點．
（Ⅰ）記直線FA，FB的斜率分別為k₁，k₂，求k₁+k₂的值；
（Ⅱ）若線段AB上點R滿足

|MA|

|MB|

=

|RA|

|RB|

，求證：RF⊥MF．

Answer 1

分析：（1）設點P（x，y），則Q（-1，y），利用數量積

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

得：即可．
（2）（Ⅰ）由題意直線m斜率存在且不為0，設直線m：y=k（x+1）與拋物線方程聯立，利用根與系數的關系和斜率計算公式即可得出k₁+k₂．
（Ⅱ）設動點R（x，y），利用

|MA|

|MB|

=

|RA|

|RB|

，即可得出x，進而即可證明RF⊥MF．

解答：解：（1）設點P（x，y），則Q（-1，y），
由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

得：（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），
化簡得C：y²=4x．
（2）（Ⅰ）由題意直線m斜率存在且不為0，
設直線m：y=k（x+1）與拋物線方程聯立

y=k(x+1) y2=4x

得k²x²+（2k²-4）x+k²=0
∵

k≠0 △＞0

，∴-1＜k＜1且k≠0．
設A(x1，y1)，B(x1，y1)則x1+x2=

4-2k2

k2

，x1x2=1．
∴k1+k2=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=

k(x1+1)

x1-1

+

k(x2+1)

x2-1

=k(2+

2(x1+x2)-4

x1x2+1-(x1+x2)

)=0．
（Ⅱ）設動點R（x，y），∵

|MA|

|MB|

=

|RA|

|RB|

，∴

x1+1

x-x1

=

x2+1

x2-x

，化為x=

2x1x2+x1+x2

x1+x2+2

=

2+x1+x2

x1+x2+2

=1．
∴R（1，y_R），而F（1，0），∴

RF

•

MF

=（0，-y_R）•（2，0）=0．
∴RF⊥MF．

點評：熟練掌握直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、向量運算、數量積運算、斜率計算公式等是解題的關鍵．