Question

設a＞0，函數．
（1）求證：關于x的方程沒有實數根；
（2）求函數的單調區間；
（3）設數列{x_n}滿足，當a=2且，證明：對任意m∈N^*都有．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知方程，可得，通分化簡得到一元二次方程，用△來進行判斷，方程有無解；
（2）已知g（x）的解析式，根據求導法則求出g′（x），令g′（x）=0，先求出其極值點再研究其單調性，含有參量a，需要分類討論；
（3）已知數列{x_n}滿足，將x_m+k-x_k=（x_m+k-x_m+k-1）+（x_m+k-1-x_m+k-2）+（x_m+k-2-x_m+k-3）…+（x_k+1-x_k），然后再進行放縮，求證；
解答：解：（1）∵方程，∴，
∴x²-x+a+1=0，∵a＞0，∴△=1-4（a+1）=-4a-3＜0
方程沒有實數根；
（2）∵函數，
∴g′（x）=ax²+2x+a，令g′（x）=ax²+2x+a=0，則△=4-4a²，
①當△=4-4a²，＜0，即a＞1，對任意實數g′（x）＞0，
∴g（x）在R上單調遞增
②當△=4-4a²，=0，即a=1，g′（1）=0，但g′（x）＞0，（x≠1），
∴g（x）在R上單調遞增
③當△=4-4a²，＞0，即0＜a＜1，對任意實數由g′（x）＞0，ax²+2x+a＞0，得x或x＞，
∴g（x）在（）上單調遞減，
g（x）在（-∞，），（，+∞）上單調遞增
（3）當a=2時，由x₁=0，得  x₂=f（x₁）=f（0）=，|x₁-x₂|=，
|x₁-x₂|=||=×|x₂²-x₁²|＜×|x₂-x₁||x₂+x₁|=××|x₂-x₁|=
當k≥2時，∵0＜x_k≤
∴|x_k+1-x_k|=||=×|x_k²-x_k-1²|×|x_k-x_k-1||x_k+x_k-1|＜×|x_k-x_k-1|
＜×|x_k-1-x_k-2|＜…＜×|x₃-x₂|＜
對任意m∈N₊，
|x_m+k-x_k|=|（x_m+k-x_m+k-1）+（x_m+k-1-x_m+k-2）+（x_m+k-2-x_m+k-3）…+（x_k+1-x_k）|≤|（x_m+k-x_m+k-1）|+|（x_m+k-1-x_m+k-2）|+••+|（x_k+1-x_k）|
≤（++…++1）|x_k+1-x_k|=|x_k+1-x_k|=•=，
即證；
點評：此題難度比較大，多次用到放縮，但是一、二問比較簡單，利用導數來研究函f（x）的單調性和極值，第三問是數列綜合題，關鍵是拆項找出規律，此題還利用了分類討論的思想；